Boris Kuschnir przyszedł na świat w rodzinie muzycznej w Kijowie w 1948 r. Grę na skrzypcach studiował u Borysa Belenky’ego w Konserwatorium im. Czajkowskiego w Moskwie, a muzykę kameralną u Walentyna Berlińskiego. Trwały wpływ na jego rozwój artystyczny miały jego liczne spotkania z Dymitrem Szostakowiczem i Dawidem Ojstrachem, u którego również studiował. Jego kariera rozpoczęła się w 1969 roku, kiedy to został jednym z trzech zwycięzców Konkursu Allunions w Leningradzie. W ślad za tym sukcesem przyszły inne liczne nagrody na międzynarodowych konkursach skrzypcowych i kameralnych (Paryż, Belgrad, Sion, Trapani, Bratysława, Florencja, Triest, Gorycja, Hamburg, Vercelli). W 1970 r. artysta założył Moskiewski Kwartet Smyczkowy i pozostał jego członkiem do 1979 r.

Od 1981 r. Boris Kuschnir mieszka w Austrii. W 1982 r. został obywatelem Austrii, a do 1983 r. sprawował funkcję pierwszego koncertmistrza Orkiestry im. Brucknera w Linzu. W 1984 r. został profesorem na Uniwersytecie Muzyki i Sztuki w Wiedniu, a w 1999 r. został również profesorem honorowym Uniwersytetu Muzyki i Sztuk Scenicznych w Grazu. Jako nauczyciel, Boris Kuschnir międzynarodowe uznanie zdobył dzięki znakomitym sukcesom swoich wybitnych uczniów, wśród których byli między innymi: Julian Rachlin, Nikolaj Znaider, Siergiej Dogadin, Paweł Miliukow, Diana Tishchenko, Lidia Baich, Alexandra Soumm, Maria Duenas, Dalibor Karvay, Lorenzo Gatto, Ondrej Janoska i Aleksey Igudesman. Artysta nieustannie prowadzi kursy mistrzowskie na renomowanych uczelniach, takich jak Verbier Festival Academy i Kronberg Academy. Jest również członkiem jury wielu międzynarodowych konkursów muzycznych, takich jak Konkurs Muzyczny im Królowej Elżbiety Belgijskiej w Brukseli, Konkurs Muzyczny im. Czajkowskiego w Moskwie, Międzynarodowy Konkurs Skrzypcowy w Indianapolis, Konkurs Skrzypcowy im. Niccolò Paganiniego w Genui, Międzynarodowy Konkurs im. Marguerite Long i Jacques’a Thibaud w Paryżu, Międzynarodowy Konkurs Skrzypcowy w Singapurze, Międzynarodowy Konkurs im. Tibora Vargi w Szwajcarii, Międzynarodowy Konkurs Skrzypcowy im. Michael’a Hill’a w Nowej Zelandii, Międzynarodowy Konkurs Skrzypcowy im. Dawida Ojstracha w Moskwie, Międzynarodowy Konkurs im. Arama Chaczaturiana w Erywaniu oraz Międzynarodowy Konkurs Muzyki Kameralnej w Melbourne. W 1984 r. Boris Kuschnir założył Wiener Schubert Trio, wraz z którym otrzymał wiele prestiżowych nagród, w tym I nagrodę na Międzynarodowym Konkursie Muzyki Kameralnej im. Sergio Lorenzi w Trieście we Włoszech, Mozart Interpretationspreis w 1988 r. w Wiedniu oraz Nagrodę Fundacji Ernsta von Siemensa w 1990 r. Boris Kuschnir grał jako solista i kameralista w najsłynniejszych salach koncertowych świata: Wiener Musikverein, Teatro alla Scala w Mediolanie, La Fenice w Wenecji, Wigmore Hall w Londynie, w Filharmonii Berlińskiej, Théâtre des Champs-Elysées w Paryżu oraz Suntory Hall w Tokio. Brał udział w niezliczonej liczbie festiwali, m.in w Salzburgu, Verbier, Wiedniu, Besançon, Waszyngtonie, Spoleto, Neapolu, Stresie, Bregencji, Sankt Petersburgu. Boris Kuschnir dzielił scenę z takim znamienitymi muzykami jak Evgeny Kissin, Elisabeth Leonskaja, Boris Berezovsky, Leif Ove Andsnes, Jean-Yves Thibaudet, Itamar Golan, Stefan Vladar, Elena Bashkirova, Julian Rachlin, Nikolaj Znaider, Maxim Vengerov, Dmitry Sitkovetsky, Renaud Capucon, David Garrett, Yuri Bashmet, Gérard Caussé, Nobuko Imai, Lawrence Power, Veronika Hagen, David Carpenter, Antoine Tamestit, Mischa Maisky, Boris Pergamenschikow, Natalia Gutman. Zarówno jako solista jak i kameralista, Boris Kuschnir ma na swoim koncie udział w licznych nagraniach płytowych, z których warto wymienić choćby wydane przez EMI w 1991 r. wszystkie tria fortepianowe Mozarta.

W 1993 r. założył Vienna Brahms Trio. W 1996 r. wraz z tym zespołem zdobył I nagrodę na IX Międzynarodowym Konkursie Muzyki Kameralnej w Illzach we Francji. W 1999 r., nakładem wytwórni Naxos, pojawiło się ich nagranie dzieł wszystkich Schumanna na trio fortepianowe. W roku 2002 został współzałożycielem Kopelman Quartet, z którym od tego czasu koncertuje na całym świecie i nagrywa płyty nakładem Nimbus Records i Wigmore Hall Live. W 1999 r. Prezydent Austrii dr Thomas Klestil przyznał Borisowi Kuschnirowi tytuł profesora. W 2008 r. prezydent Republiki Austrii dr Heinz Fischer przyznał artyście „Wielką Srebrną Odznakę Honorową za Zasługi dla Republiki Austrii”, a w 2013 r. „Austriacki Krzyż Honorowy I Klasy za Zasługi w Nauce i Sztuce”. W grudniu 2014 r., Prezydent Centralnego Konserwatorium Muzycznego w Pekinie, Wang Cizhao, nadał Borisowi Kuschnirowi tytuł prof. honoris causa.