Konstanty Andrzej Kulka studiował grę na skrzypcach w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Gdańsku pod kierunkiem Stefana Hermana (dyplom z wyróżnieniem w 1971).

Jako siedemnastolatek otrzymał wyróżnienie na Międzynarodowym Konkursie Skrzypcowym im. Niccolò Paganiniego w Genui, jednak drogę do międzynarodowej kariery otworzył mu w 1964 r. Międzynarodowy Konkurs Radiowy ARD w Monachium (I nagroda). Od 1966 r. artysta koncertował na obu półkulach (we wszystkich krajach Europy, Stanach Zjednoczonych, Ameryce Północnej i Południowej, Japonii oraz Australii) ‒ zagrał ponad 1500 recitali i koncertów symfonicznych. Jako solista był gościem wielu renomowanych orkiestr (m.in. Berliner Philharmoniker, Chicago Symphony Orchestra, London Symphony Orchestra, English Chamber Orchestra, Conertgebouw Amsterdam, Minneapolis Symphony Orchestra, Leningradzkej Filharmonii), uczestniczył w prestiżowych festiwalach muzycznych, m.in. w Lucernie, Bordeaux, Flandrii, Berlinie, Pradze, Barcelonie, Brighton, Warszawie. Szczególne miejsce w tournées artystycznych skrzypka zajmują występy z Orkiestrą Symfoniczną Filharmonii Narodowej. Od 1968 r. występował w duecie z Jerzym Marchwińskim. Uprawiał też kameralistykę jako członek Kwartetu fortepianowego Polskiego Radia i Telewizji (razem ze Stefanem Kamasą, Romanem Jabłońskim i Jerzym Marchwińskim).

Konstanty Andrzej Kulka ma na koncie wiele nagrań dla Polskiego Radia i Telewizji Polskiej oraz wytwórni Polskie Nagrania. Nagrywa również dla zagranicznych radiofonii i firm płytowych. Ważne miejsce w repertuarze artysty zajmuje muzyka współczesna. Jest znakomitym interpretatorem utworów Witolda Lutosławskiego, Krzysztofa Pendereckiego (m.in. I Koncertu skrzypcowego), Henryka Hubertusa Jabłońskiego, Augustyna Blocha, Eugeniusza Knapika. Konstanty Andrzej Kulka prowadzi jednocześnie działalność pedagogiczną ‒ od 1994 jest profesorem Akademii Muzycznej w Warszawie, gdzie jednocześnie kieruje Katedrą Instrumentów Smyczkowych. Otrzymał wiele wyróżnień, nagród i odznaczeń, m.in. Nagrody Ministra Kultury i Sztuki, Nagrodę Ministra Spraw Zagranicznych za „wybitne zasługi w propagowaniu kultury polskiej za granicą”, Krzyż Komandorski Orderu Odrodzenia Polski. Zasiada w jury wielu międzynarodowych konkursów muzycznych.